Teorija igara temelji se na logičkoj analizi konfliktnih situacija, kao i situacija u
kojima je moguća suradnja između dvaju ili više sudionika – igrača.
1. sudjeluju barem dva
2. svaki igrač ima određeni broj mogućih
3. svakom su mogućem ishodu igre pridružene
Teorija igara proučava kako bi igrači morali racionalno igrati igre. Svaki igrač želi da igra završi tako da on dobije čim veću moguću isplatu. Igrač može donekle utjecati na iznos isplate, birajući strategiju, no isplata ne ovisi isključivo o njegovoj strategiji, već i o strategijama koje odabiru ostali igrači, pa se tu pojavljuju konflikti i suradnja. Naime, ako više igrača uskladi svoje strategije, oni mogu postići da svi dobiju veće isplate. Racionalno igranje uključuje složene osobne odluke prilikom odabira strategije koja će igraču donijeti povoljan ishod, znajući da i svi ostali igrači biraju strategije tako da ishod bude povoljan za njih.
Cilj ovog istraživanja je odrediti optimalne strategije za igranje igre šijavica tako da se igra prikaže kao matrična igra te provjeriti je li igra poštena.
Najjednostavnija situacija je igra za dva igrača u kojoj svaki igrač može birati između
dviju strategija, što znači da ukupno postoje četiri ishoda igre koje možemo prikazati
tablicom. Primjer takve igre dan je u
Ishodi igre Izvor: autorica
Drugi igrač
A
B
Prvi igrač
A
(3, -3)
(-4, 4)
B
(0, 0)
(6, -6)
Prvi igrač bira jedan redak, dok drugi igrač istovremeno bira jedan stupac. Svaki igrač zapiše svoj izbor na papir. Igrači istovremeno otkrivaju svoj izbor i na temelju toga određuju isplate. Kod svakog je ishoda prvi član uređenog para isplata za prvog igrača, a drugi član isplata za drugog igrača.
U ovoj igri je zbroj isplata za svaki ishod jednak nuli. Drugim riječima, onoliko koliko
prvi igrač dobije, toliko drugi izgubi, i obratno. Dakle, interesi igrača su izravno
suprotni. Takva igra naziva se
Tablica isplata Izvor: autorica
Drugi igrač
A
B
Prvi igrač
A
3
-4
B
0
6
Ovakvu tablicu u kojoj su navedeni iznosi koje drugi igrač isplaćuje prvom igraču
jednostavnije prikazujemo matricom, u ovom primjeru
Prvi igrač želi odabrati redak tako da ishod bude čim veći, a drugi igrač želi odabrati stupac tako da ishod bude čim manji broj. U nastavku će biti uvedeni neki pojmovi teorije igara potrebni za razmatranje takve situacije.
Prema
Ako je vrijednost igre jednaka nuli, igra je
Određivanje sedlaste točke provodi se tako da se ispišu minimumi svakog retka i među njima označi maksimum (maximin). Zatim se ispišu maksimumi svakog stupca i među njima označi minimum (minimax). Ako je maximin redaka jednak minimaxu stupaca, onda se on pojavljuje u sedlastoj točki. Jedna matrica isplata može imati više sedlastih točaka, ali su njihove vrijednosti tada jednake.
Ako matrična igra ima sedlastu točku, oba igrača će uvijek odabirati strategiju koja sadrži
sedlastu točku. To se naziva
Ako vjerojatnosti za prvog igrača zapišemo u retčanu matricu
Za navedeni primjer, ako drugi igrač igra mješovitu strategiju s vjerojatnostima
Prvi igrač neće moći zloupotrijebiti mješovitu strategiju drugog igrača ako su ove dvije očekivane vrijednosti jednake:
To znači da ako drugi igrač igra mješovitu strategiju
Ako prvi igrač igra mješovitu strategiju s vjerojatnostima
Drugi igrač neće moći zloupotrijebiti mješovitu strategiju prvog igrača ako su ove dvije očekivane vrijednosti jednake:
Dakle, ako prvi igrač igra mješovitu strategiju
U ovoj matričnoj igri je vrijednost igre
John von Neumann je 1928. dokazao sljedeći teorem:
1) ako prvi igrač igra svoju optimalnu strategiju, njegova očekivana isplata bit će
≥
2) ako drugi igrač igra svoju optimalnu strategiju, očekivana isplata prvog igrača bit će
≤
Zahvaljujući ovom teoremu pojmove optimalne strategije i vrijednosti igre možemo razmatrati za svaku matričnu igru, a ne samo za one koje su strogo određene.
2 - do
3 - tre
4 - kvatro
5 - cinkve
6 - šije
7 - šete
8 - oto
9 - nove
10 - tuti (sve).
Igra je dobila naziv upravo po riječi "šije", "šete" (sei, sette).
Ako niti jedan igrač ne pogodi zbroj pokazanih prstiju, ili ako oba igrača pogode, igrači ne dobivaju bodove. Ako samo jedan igrač pogodi zbroj pokazanih prstiju, taj igrač dobije jedan bod.
Šijavica je matrična igra za dva igrača sa zbrojem nula.
Na temelju pravila igre sastavimo matricu isplata. Koristimo oznaku "P
Matrica isplata za igru šijavica P1 I2 P1 I3 P1 I4 P1 I5 P1 I6 P2 I3 P2 I4 P2 I5 P2 I6 P2 I7 P3 I4 P3 I5 P3 I6 P3 I7 P3 I8 P4 I5 P4 I6 P4 I7 P4 I8 P4 I9 P5 I6 P5 I7 P5 I8 P5 I9
P1I2
P1I3
P1I4
P1I5
P1I6
P2I3
P2I4
P2I5
P2I6
P2I7
P3I4
P3I5
P3I6
P3I7
P3I8
P4I5
P4I6
P4I7
P4I8
P4I9
P5I6
P5I7
P5I8
P5I9
P5I10
0
1
1
1
1
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
P5I10
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
1
1
1
1
0
Potražimo sedlastu točku. Budući da su minimumi svakog retka jednaki -1, a maksimumi svakog stupca jednaki 1, ova matrica isplata očito nema sedlastu točku.
Potražimo dominantne strategije. Ne postoje dominantne strategije jer ne postoji neki redak u kojem bi svaki broj bio manji ili jednak odgovarajućem broju u nekom drugom retku. Analogna tvrdnja vrijedi i za stupce.
Odredimo optimalne strategije. Iako smo kod matrične igre određene matricom isplata
Vrijednost igre je 0, odnosno, igra je poštena. Optimalna strategija za prvog igrača je:
(0, 0, 0, 0, 0.2, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.2, 0).
Optimalna strategija za drugog igrača je:
(0, 0, 0, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0.2, 0, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.2, 0, 0).
Ostaje nam još samo pronaći slučajni način odabira među pet optimalnih poteza za svakog igrača. Jedan od mogućih načina je da igrač na satu očita sekunde pa ako broj sekundi pri dijeljenju s pet daje ostatak jedan, odigra prvi potez, ako broj sekundi pri dijeljenju s pet daje ostatak dva, odigra drugi potez, ako broj sekundi pri dijeljenju s pet daje ostatak tri, odigra treći potez, ako broj sekundi pri dijeljenju s pet daje ostatak četiri, odigra četvrti potez, a ako je broj djeljiv s pet, odigra peti potez.
U radu je prikazano određivanje optimalnih strategija za igranje igre šijavica koja je
modelirana kao matrična igra za dva igrača sa zbrojem nula. Dobiven je rezultat da je za
prvog igrača najbolje da s jednakom vjerojatnošću od