KoG, Vol. 22 No. 22, 2018.
Izvorni znanstveni članak
https://doi.org/10.31896/k.22.5
Nov pogled na teorem tri simetrije
Gunter Weiss
orcid.org/0000-0001-9455-9830
; University of Technology Vienna, University of Technology Vienna,University of Technology Vienna,Vienna, Austria
Sažetak
U euklidskoj ravnini poznato je da je produkt tri simetrije ponovo simetrija ako i samo ako se njihove osi sijeku u jednoj zajedničkoj točki. Također poznat je i neeuklidski analogon ''teorema tri simetrije" (3RT), vidi npr. [4]. U ovom članku predstavljene su afine verzije tog teorema
tako da se proučavaju tri mimosmjerne simetrije kojima se osi sijeku u
jednoj točki. Pokazat će se da je važno, u svim verzijama 3RT-a, da se tri para (os, smjer simetrije) danih (mimosmjernih) simetrija mogu proučavati kao involutivni projektivitet. Za euklidski i neeuklidski slučaj ovo svojstvo je automatski ispunjeno. Sa stajališta projektivne geometrije (mimosmjerna) simetrija je harmonička homologija. U afinoj geometriji simetrija je indirektna involutivna transformacija, dok u projektivnoj geometriji nema smisla govoriti o ''direktnoj" i ''indirektnoj" transformaciji. Harmonička homologija dopušta interpretaciju i kao osnu simetriju i kao centralnu
simetriju. Ipak, može se proučavati produkt triju harmoničkih homologija koji je ponovno harmonička homologija. Nekim posebnim međusobnim položajima centara i osi danih homologija može se dobiti elacija ili čak identitet.
Posljedica danih rezultata su daljnje generalizacije 3RT-a, npr. u ravninama s Minkowski metrikom, afinim ili projektivnim
3-dimenzionalnim prostorima ili u geometrijama kružnice.
Ključne riječi
teorem tri simetrije; osna simetrija; harmonička homologija; involutivni projektivitet
Hrčak ID:
214644
URI
Datum izdavanja:
3.1.2019.
Posjeta: 1.732 *