Professional paper
https://doi.org/10.46458/27121097.2019.25.184
FARKASEVA LEMA: ELEMENTARNI DOKAZ I EKONOMSKE PRIMJENE
Margareta Gardijan Kedžo
orcid.org/0000-0001-5390-057X
; Faculty of Economics and Business, University of Zagreb, Zagreb, Croatia
Vedran Kojić
orcid.org/0000-0002-6802-1719
; Faculty of Economics and Business, University of Zagreb, Zagreb, Croatia
Marina Slišković
; Faculty of Economics and Business, University of Zagreb, Zagreb,Croatia
Abstract
U ovom radu dajemo elementarni dokaz Farkaseve leme. U matematici je Farkaseva lema vrlo bitna činjenica koja se koristi u teoriji optimizacije, primjerice u izvođenju Karush-Khun-Tuckerovih uvjeta optimalnosti u slučaju ograničenja u obliku nejednakosti kod nelinearnog programiranja, te u dokazivanju dualnih teorema za linearno programiranje. Iako je Farkasevu lemu vrlo jednostavno iskazati, njezin dokaz nije trivijalan (većina postojećih dokaza se temelji na netrivijalnim rezultatima iz područja optimizacije i (linearne) algebre), o čemu govori i podatak da su ju mnogi na različite načine dokazivali još prije 1972. pa sve do danas, nadmećući se pritom tko će ponuditi jednostavniji dokaz. U ovom radu Farkasevu lemu dokazujemo na elementaran način koristeći matematičku indukciju. Dokaz ove leme matematičkom indukcijom je poznat u stranoj, ali ne i u domaćoj literaturi. Stoga je cilj ovog rada revidirati taj dokaz, ispraviti postojeće nedostatke i pogreške, te detaljno objasniti svaku stavku dokaza, ne koristeći pritom složene termine i činjenice iz područja optimizacije i algebre. Osim samog dokaza Farkaseve leme, navodimo i njezine dvije primjene u ekonomiji, čime želimo, s jedne strane, približiti i objasniti Farkasevu lemu na razumljiv način čitateljima koji po svom obrazovanju nisu matematičari, ali ju koriste u svom radu, te s druge strane doprinijeti razumijevanju samog iskaza Farkaseve leme kroz konkretne primjere.
Keywords
Farkaseva lema; matematički dokaz; matematička indukcija; financijsko modeliranje; teorija igara;
Hrčak ID:
234254
URI
Publication date:
24.12.2019.
Visits: 1.077 *