Other

Farkaseva lema: elementarni dokaz i ekonomske primjene

Margareta Gardijan orcid.org/0000-0001-5390-057X ; Faculty of Economics and Business, University of Zagreb
Vedran Kojić ; Faculty of Economics and Business, University of Zagreb
Marina Slišković orcid.org/0000-0002-1447-1917 ; Faculty of Economics and Business, University of Zagreb

Abstract

U ovom radu donosimo elementarni dokaz Farkaseve leme. U matematici je Farkaseva lema vrlo bitna činjenica koja se koristi u teoriji optimizacije, primjerice u izvođenju Karush-Khun-Tuckerovih uvjeta optimalnosti u slučaju ograničenja u obliku nejednakosti kod nelinearnog programiranja, te u dokazivanju dualnih teorema za linearno programiranje. Iako je Farkasevu lemu vrlo jednostavno iskazati, njezin dokaz nije trivijalan (većina dokaza se temelji na netrivijalnim rezultatima iz područja optimizacije i (linearne) algebre), o čemu govori i podatak da su ju mnogi na različite načine dokazivali još od 1972. (pa i ranije) sve do danas, nadmećući se pritom tko će ponuditi jednostavniji dokaz. U ovom radu Farkasevu lemu dokazujemo na elementaran način koristeći matematičku indukciju. Dokaz ove leme matematičkom indukcijom je poznat u stranoj, ali ne i u domaćoj literaturi. Stoga je cilj ovog rada revidirati taj dokaz, ispraviti postojeće nedostatke i pogreške, te detaljno objasniti svaku stavku dokaza, nekoristeći pritom složene termine i činjenice iz područja optimizacije i algebre. Osim samog dokaza Farkaseve leme, navodimo i njezine dvije primjene u ekonomiji, čime želimo, s jedne strane, približiti i objasniti Farkasevu lemu na razumljiv način čitateljima koji po svom zvanju nisu matematičari, ali ju koriste u svom radu, te s druge strane doprinijeti razumijevanju samog iskaza Farkaseve leme kroz konkretne primjere.

Keywords

Farkaseva lema; matematički dokaz; matematička indukcija; financijsko modeliranje; teorija igara

Hrčak ID:

192156

URI

https://hrcak.srce.hr/192156

Publication date:

8.1.2018.

Visits: 1.407 *