Uvod
U međunarodnom istraživanju TIMSS utvrđeno je da u Hrvatskoj već u četvrtom razredu osnovne škole više od trećine učenika ne voli učiti matematiku što:
»nedvojbeno utječe na njihove rezultate u ovome području. Taj postotak ukazuje na to da bi se buduće reforme, osim na sadržajne promjene kurikuluma, mogle usmjeriti i na osmišljavanje načina kako učenicima matematiku učiniti pristupačnijom te osigurati dovoljno mogućnosti i vremena za svladavanje nužnih matematičkih sadržaja u svakome uzrastu.«4
Stoga se učitelji i donositelji obrazovnih politika nalaze u nezavidnom položaju tražeći načine kako da nastavu matematike u nižim razredima osnovne škole učine kvalitetnijom. Pogledamo li rezultate učenika četvrtog razreda na međunarodnom istraživanju TIMSS iz matematike možemo uočiti da se Singapur nalazi u samom vrhu5, što ukazuje na kvalitetan nastavni model početne nastave matematike. Također, istraživanja pokazuju da djeca koja pohađaju Montessori programe pokazuju visoku razinu postignuća u matematici.6 Stoga, u ovom radu uspoređujemo model Montessori i singapurski model početne nastave matematike. Ti modeli alternativa su tradicionalnoj nastavi usmjerenoj na učitelja u kojoj je učenikovo učenje »podrazumijevalo pozorno praćenje nastavnikova ‘realiziranja programa’, zatim prepisivanje tragova te ‘realizacije’ na ploči, te rješavanje zadataka za domaću zadaću iz udžbenika i zbirki zadataka«.7
1. Modeli nastave matematike
U didaktici postoji razlika između pojmova nastavni modeli, strategije, metode i postupci. Strategije se dijele »na metode, ove na veći broj postupaka«.8 Nastavni modeli su najširi didaktički pojam. Pod nastavnim modelom se »misli znanstveno uopćavanje na temelju proučavanja općih i zajedničkih obilježja didaktičkih rješenja za nastavu«.9 Modeli su jasno opisane aktivnosti uz navođenje razloga njihove provedbe u praksi. To uključuje teorijska polazišta, kurikulume, nastavna sredstva, pisane materijale za učitelje i učenike.10
Unatoč uvriježenu nazivu metoda Montessori koji je uvela sama autorica,11 tu je riječ o širem didaktičkom pojmu, a ne o nastavnoj metodi, stoga ćemo u ovom radu upotrebljavati naziv Montessori (nastavni) model što vrijedi i za singapurski model. Oba modela namijenjena su prije svega početnoj nastavi matematike, odnosno u nastavi matematike u nižim razredima osnovne škole,12 stoga se mogu nazvati modelima početne nastave matematike.
2. Usporedba Montessori i singapurskog modela početne nastave matematike
U ovom radu usmjerili smo se na usporedbu Montessori i singapurskog modela početne nastave matematike. Naime, ti modeli se ne odnose samo na metodički aspekt nastave (nastavne metode, zadatke i didaktičke materijale) već uključuju razrađena teorijska polazišta, odgovarajuće kompetencije i ulogu učitelja te rezultate istraživanja koji ukazuju na veću učinkovitost obaju modela u odnosu na tradicionalnu početnu nastavu matematike. Činjenica da su to učinkoviti modeli početne nastave matematike potakla nas je na njihovu usporedbu.
Premda je singapurski model razvijen i najviše vezan uz Singapur, on se – kao i Montessori model – koristi u različitim dijelovima svijete. Unatoč tome, singapurski model se u drugim zemljama ne ostvaruje u cjelini već samo u dijelovima (npr. udžbenici13 ili metoda konkretno-slikovno-apstraktno14). Zbog toga smo se u tekstu usmjerili na analizu tog modela u Singapuru, gdje se primjenjuje cjelovito. Za razliku od toga, Montessori model nije vezan ni uz jedno geografsko područje već se koristi kao alternativan pristup u različitim zemljama.
2.1. Teorijska polazišta nastavnih modela
Montessori model nastao je početkom 20. stoljeća, a utemeljila ga je Maria Montessori. U razvoju svojih pedagoških ideja bila je pod utjecajem filozofa Rousseaua te pedagoga Pestalozzia i Fröbela. Potaknuta Rousseovom filozofijom15 zalagala se za slobodu djeteta, s tim da je odbacila njegovu zamisao da se dijete razvija u nestrukturiranoj okolini izvan društvenog konteksta. Pestalozzi je utjecao na njezin teorijski pristup idejom da škola treba biti djetetu drugi dom u kojemu će ono učiti kroz posebno osmišljene praktične aktivnosti. Poseban utjecaj na Montessori imao je njemački pedagog Fröbel koji je isticao važnost samostalnog učenja u strukturiranom okruženju.16 Međutim, Montessori je smatrala da su svi njezini prethodnici bili previše filozofski orijentirani. Zbog toga, pod utjecajem fizikalnog antropologa Lombrosa i eksperimentalnog psihologa Sergia, pokušava svoju teoriju utemeljiti na analizi podataka dobivenih mjerenjem i promatranjem aktivnosti djeteta.17
Montessori vidi dijete kao konstruktora vlastitog razvoja, što je slično suvremenom pedagoškom konstruktivizmu.18 Naglašava važnost postupnog razvoja djetetovih prirodnih sposobnosti, počevši od promatranja pa do formiranja ideja. Montessori pridaje važnost odgoju koji promovira dječje interese, uvažava njihovu psihološku kompleksnost i specifičnosti različitih faza razvoja.19 Prva faza, upijajući um (do 6 godina), uključuje lako apsorbiranje informacija, pri čemu prve tri godine (nesvjesni upijajući um) imaju najveći utjecaj s fokusom na neovisnost. Od treće godine, u fazi svjesnog upijajućeg uma, dijete se zanima za društvo i kulturu te razvija kontrolu volje. U fazi kozmičkog odgoja i obrazovanja (6-12 godina), za razliku od ranog djetinjstva u kojemu dijete spoznaje svijet koristeći svoja osjetila, ono imaginativnim istraživanjem i rasuđivanjem upoznaje svemir.20 Tijekom adolescencije (12-18 godina) dijete prolazi kroz fizičke promjene i želi se identificirati s vršnjacima. Montessori je isticala da su pokret i spoznaja usko povezani. Zbog toga je razvila model u kojemu se velik broj obrazovnih aktivnosti, a tako i aktivnosti u nastavi matematike, ostvaruju manipuliranjem konkretnim materijalima.21
Iako je Montessori zagovarala znanstveno promatranje spontanog učenja učenika, model se nije uvijek temeljio na rezultatima istraživanja jer je do nekih zaključaka došla intuitivno i arbitrarno,22 a neki su utemeljeni u njenom religijskom opredjeljenju.23 Međutim, bitne postavke njene teorije potvrđene su u naknadnim istraživanjima. Tako su neuroznanstvena istraživanja dokazala važnost ranih iskustava za razvoj mozga te općenito da se u mozgu događaju promjene u skladu s fazama razvoja koje je opisala Montessori.24 Osim toga, dokazano je da manipuliranje predmetima pomaže u rješavanju zadataka u početnoj nastavi matematike.25 Isto tako, postoje dokazi da je sloboda izbora povezana s učeničkom ustrajnošću i interesom za matematičke aktivnosti.26
Singapurski model utemeljen je na različitim teorijskim pristupima: Piagetovoj teoriji kognitivnog razvoja, Brunerovoj i Dienesovoj teoriji razvoja matematičkog mišljenja, na Skempovom razlikovanju instrumentalnog i relacijskog razumijevanja te na teoriji Vigotskog koji ističe važnost socijalne interakcije učenika s odraslima i vršnjacima.27 Prema Piagetu, djeca prolaze kroz četiri faze kognitivnog razvoja: senzomotorička, predoperacijska, faza konkretnih operacija i faza formalnih operacija. Sve faze kognitivnog razvoja su nužne da bi dijete moglo doći do apstraktnog mišljenja na kojemu se temelji matematičko mišljenje. Bruner, uvažavajući Piagetove faze kognitivnog razvoja, navodi tri vrste mentalnog predočavanja: aktivno, ikoničko i simboličko28 na čemu se temelji konkretno-slikovno-apstraktna (K-S-A) metoda učenja matematike koja se koristi u Singapuru. Dienes se zalagao za korištenje manipulativnih materijala, igara i priča u matematici, jer smatra da matematika treba biti zabavan istraživački proces koji potiče djecu na kreativnost.29 Skempovova teorija o relacijskom i instrumentalnom razumijevanju matematike vidljiva je u korištenju metode modela u kojoj učenici razvijaju razumijevanje matematičkih koncepta i paralelno uče postupke.30 Vigotski je smatrao da učenici mogu nadmašiti svoju trenutnu razinu razumijevanja uz pomoć učitelja ili vršnjaka, pri čemu je razliku između samostalnog razumijevanja i razumijevanja uz tuđu pomoć nazvao zonom proksimalnog razvoja, što je u singapurskom modelu izraženo u ključnoj ulozi učitelja.31
Ako usporedimo oba modela, možemo uočiti važnost razvojnih faza, pri čemu svaka faza ima svoje specifičnosti koje bi trebalo uvažavati u radu s djecom različite dobi. Piaget je uvažavao rad Marije Montessori, koristeći ga kao temelj za vlastitu teoriju,32 stoga su posljednje dvije Piagetove faze vrlo slične Montessori fazama u kojima se dijete odmiče od konkretnog i usmjerava prema apstraktnom mišljenju, s tim da je u oba modela istaknuto korištenje i manipuliranje konkretnim objektima. Treba istaći kako su u Singapuru razvili model nastave matematike proučavajući novije znanstvene teorije od kojih neke nisu postojale početkom dvadesetog stoljeća kad se razvijao Montessori model.
2.2. Nastavne metode i didaktički materijali u modelima početne nastave matematike
Oba modela teže k tome da učenici razviju dublje razumijevanje matematičkih koncepata.33 No, Montessori više naglašava učeničko samostalno otkrivanje uporabpm didaktičkih materijala,34 dok se singapurskim modelom učenici potiču da koriste različite strategije za rješavanje problema.35
Oba modela koriste konkretne materijale i vizualne reprezentacije da bi olakšali razumijevanje matematike. Montessori model temelji se na uporabi specijalnih didaktičkih materijala koji uz odgovarajuće vježbe prate razvojne mogućnosti djeteta, tj. od jednostavnijih postaju sve složenije, od konkretnih sve apstraktnije.36 Riječ je o visokokvalitetnim materijalima koji su dizajnirani tako da potiču djecu na aktivnosti i manipulaciju. Mnogi od tih materijala omogućuju djetetu da samostalno prepozna i ispravi svoje pogreške bez potrebe za intervencijom učitelja.37
U singapurskom modelu konkretno-slikovno-apstraktna (K-S-A) metoda osigurava dublje razumijevanje matematičkih pojmova. U njoj učenje počinje aktivnim angažmanom ili iskustvom dobivenim manipuliranjem konkretnim materijalima. Zatim učenici nastoje produbiti svoje razumijevanje pomoću slikovnih prikaza kojima se vizualiziraju apstraktni matematički odnosi i različite strukture problema.38 Time učenici uče apstraktne matematičke ideje na opipljiv i vidljiv način. Učenici prvo manipuliraju stvarnim predmetima, nakon toga prelaze na izradu modela koji se koriste za predočavanje matematičkih veličina navedenih u zadatku.39
Razlika između Montessori i singapurskog modela ogleda se u stupnju učestalosti korištenja didaktičkih materijala. Montessori pribor je učenicima stalno dostupan i mogu se njime samostalno služiti,40 dok je singapurski didaktički materijal u rukama učitelja koji odlučuje kad će se učenici njime služiti slijedeći propisani matematički kurikulum.41 Za razliku od Montessori modela u kojemu se rabe posebno dizajnirani didaktički materijali, u singapurskom modelu konkretni materijali nisu izrađeni posebno za taj model. Osim toga, u Singapuru učenici imaju udžbenike u kojima su navedeni slikovni prikazi matematičkih zadataka, dok tradicionalni Montessori model ne koristi udžbenike.42
2.3. Specifičnost nastavnih zadataka u analiziranim modelima nastave matematike
Učenici u Montessori učionicama prilikom rješavanja matematičkih zadataka koriste posebno pripremljeni materijal. Primjerice, perlice zlatne boje služe za uvođenje u dekadski sustav te njime učenici stvaraju vizualnu predodžbu koja im kasnije može pomoći u zadatcima apstraktnog tipa te u računskim operacijama kvadriranja, odnosno kubiranja.
Slika 1. Igra zbrajanja.43
Slika 1. primjer je zadatka u kojemu su jedinice i desetice označene različitim bojama. Učitelj postavlja zadatak s karticama nakon čega učenik odlazi do ormara, uzima odgovarajući broj perlica i pridružuje karticama pripadajuću količinu perlica i tako rješava zadatak.
Singapurski model potiče učenike na istraživanje različitih strategija za rješavanje problemskih zadataka poput rješavanja unatrag, traženje uzorka, pogodi i provjeri itd.44 Razumijevanje matematičkih koncepata ostvaruje se primjenom u stvarnim situacijama, tj. matematičkom modeliranju. Jedna od posebno istaknutih metoda kojima se koriste prilikom rješavanja zadataka riječima je metoda modela ili pravokutnika.45 Učenici crtaju pravokutnike koji predstavljaju kvantitativne dijelove i/ili cjelinu s obzirom na kontekst zadatka. Pravokutnici su modeli koji ne prikazuju stvarne objekte iz tekstualnog zadatka, već prikazuju količine i odnose između količina. Ti crteži su shematske prirode jer se odnose na unutarnju strukturu problema koji je dan u tekstualnim zadatcima (slika 2).
Slika 2. Slikovni model u kojemu se za prikaz zbrajanja koriste pravokutnici.46
U singapurskom modelu slijedi se kurikulum matematike, koji je vrlo strukturiran i spiralan.47 Srž kurikuluma je rješavanje matematičkih problema48 korištenjem različitih metoda, između ostalog Polyina četiri koraka koji uključuju razumijevanje problema, planiranje, rješavanje i osvrt na dobiveno rješenje.49 Za razliku od njega, Montessori model ima slobodan kurikulum jer se učenje temelji prvenstveno na individualnoj aktivnosti učenika koji bi uz uporabu konkretnih materijala trebali otkriti, razumjeti i primjenjivati matematičke pojmove i operacije.50
2.5. Uloga učitelja u analiziranim modelima nastave matematike
Postoje različiti načini toga kako postati Montessori učitelj. Obično to podrazumijeva uključivanje osoba, koje su prethodno završile neki studij (ne nužno učiteljski), uz specifičnu izobrazbu koja može trajati godinu dana ili više. Ta izobrazba osigurava temeljito razumijevanje Montessori modela.51 Osim teorijskog znanja, izobrazba Montessori učitelja obuhvaća praktično iskustvo s Montessori materijalima i metodama52 i praksu pod nadzorom iskusnog Montessori učitelja.53 Nakon završetka izobrazbe, Montessori učitelji dobivaju potvrdu od relevantne Montessori asocijacije.54 U Montessori modelu učitelj preuzima ulogu organizatora koji suptilno vodi učenika kroz proces učenja. On nije poučavatelj, već organizator i usmjerivač55 jer ključnu ulogu ima učenik. Učenje se manje događa slušanjem izlaganja, a više stjecanjem iskustva tijekom rješavanja konkretnih zadataka uz korištenje Montessori didaktičkih materijala.56 Učitelj će najprije djeci prikazati zašto i kako se koristi pojedini materijal, a djeca će dalje prema svom interesu učiti pomoću tog materijala.
Obrazovanje budućih učitelja u Singapuru je formalno i centralizirano. Učitelji se biraju između trećine najuspješnijih srednjoškolaca. Naglasak u inicijalnom obrazovanju učitelja je postavljen na metodički aspekt nastave (59 % sati), na učenje pedagoških teorija (29 % sati) te na svladavanje stručnih sadržaja u koje ulazi i matematika (12 % sati).57 Formalno inicijalno obrazovanje osigurava duboko razumijevanje kurikuluma matematike kao i nastavnih metoda inkorporiranih u singapurski model (npr. K-S-A). Osim toga, Ministarstvo obrazovanja Singapura pruža brojne mogućnosti stručnog usavršavanja.58 Uz to, učitelje se potiče na sudjelovanje u znanstvenim istraživanjima te na provedbu akcijskih istraživanja.59 Sve to osigurava kontinuirano osposobljavanje učitelja za ostvarivanje kvalitetne nastave matematike. Učitelji u Singapuru organiziraju nastavu vodeći računa o stvaranju pozitivne razredne kulture, pripremanju i ostvarivanju nastave te o vrednovanju i povratnim informacijama.60 Važno im je da učenici mogu razumjeti osnovne matematičke koncepte i procedure koje onda primjenjuju u samostalnom rješavanju problemskih zadataka.
U oba modela učitelji prolaze kroz temeljito formalno inicijalno obrazovanje ili izobrazbu, no ključna razlika leži u specifičnostima modela za koji se pripremaju. Dok Montessori učitelji postaju stručnjaci za holistički, samousmjereni pristup odgoju i obrazovanju61 koji je temeljen na uporabi specifičnih didaktičkih materijala,62 singapurski učitelji matematike postaju stručnjaci za modeliranje i vizualizaciju u matematici, koristeći K-S-A pristup u rješavanju nerutinskih matematičkih problema. U oba modela od učitelja se ne očekuje da budu prenositelji znanja već da pomažu učenicima u samostalnom učenju.63 Ipak, učitelji se u Singapuru više skrbe o nastavi koja, osim individualnog, uključuje frontalni i suradnički oblik nastave, dok u Montessori modelu učitelji stvaraju sigurnu okolinu za samostalno, pretežito individualno učenje učenika.
2.6. Rezultati istraživanja analiziranih modela nastave matematike
Rezultati istraživanja o uspješnosti Montessori modela ukazuju na to da učenici postižu jednake ili bolje rezultate u matematici od svojih vršnjaka u tradicionalnim školama.64 To se prije svega može pripisati pravilnoj uporabi manipulativa za koje je važno a) da se dosljedno koriste duže vrijeme, b) da se nakon nekog vremena s konkretnih materijala prijeđe na apstraktne prikaze, c) da manipulativi ne sadrže ometajuće detalje te d) da se učenicima eksplicitno objasni veza između manipulativa i matematičkog pojma.65 Razlog zbog kojega u nekim istraživanjima nema razlike moguće je tražiti u tome što Montessori model nije dosljedno implementiran.66 Učenici uključeni u Montessori model pokazuju veće zadovoljstvo u učenju matematike i veće samopouzdanje u rješavanju matematičkih zadataka, pa čak i onih problemskih.67
Učenici koji se školuju prema singapurskom modelu pokazuju veću uspješnost u rješavanju matematičkih problema u odnosu na učenike iz uobičajenih pristupa nastave.68 U eksperimentalnom istraživanju provedenom u Engleskoj uporaba singapurskih udžbenika pokazala se učinkovitijom od udžbenika koji su do tada bili korišteni u nastavi.69 No, čak i korištenje dijela K-S-A metode iz singapurskog modela pokazuje veću uspješnost. Naime, učenici, a posebno oni s teškoćama,70 koji su učili matematiku pomoću metode toga modela postigli su bolje rezultate od učenika koji nisu bili uključenu u tu metodu.71 Uspješnost singapurskog modela potvrđuju rezultati međunarodnih istraživanja kao što su TIMSS72 i PISA73 u kojima se Singapur u postignućima učenika nalazi na vrhu ljestvice.
Zaključak
U ovom je radu uspoređen model Montessori i singapurski model početne nastave matematike koji su alternativa tradicionalnoj nastavi uvelike temeljenoj na aktivnosti učitelja, a manje na onome što učenici čine i razumiju. Utvrđene su neke sličnosti, ali i razlike u nekoliko ključnih aspekata (tablica 1).
Tablica 1: Razlike između Montessori i singapurskog modela početne nastave matematike.
Oba modela povezuje korištenje konkretnih materijala tijekom usvajanja nastavnih sadržaja iz matematike. Didaktički materijali imaju važno mjesto u početnoj nastavi matematike jer pomažu učenicima u razumijevanju matematičkih koncepata, a zatim u usvajanju apstraktnih matematičkih ideja.74 Oba modela pokazuju učinkovitost u razvoju matematičkog mišljenja kod djece, a učitelji koji poučavaju u oba modela osposobljeni su za svoj posao. Ovaj članak pomaže razumjeti sastavnice koji modele čine uspješnima i pokazuje put prema kvalitetnijoj nastavi matematike jer istraživanja pokazuju da primjena i samo nekih elemenata (npr. udžbenika, metoda ili didaktičkih materijala) može unaprijediti učenička postignuća.75
Ljerka Jukić Matić76 – Sanela Mužar Horvat77∗ – Branko Bognar78∗∗
Comparison of the Montessori and Singaporean Models of Elementary Mathematics Education